La fisica del razzo

Quante volte avete visto partire uno Shuttle alla televisione? E ogni volta lo avete ammirato come fosse un miracolo… ma in realtà dietro ci sono tanti studi specifici e tante sperimentazioni. Anche noi siamo stati incuriositi da questi eventi e abbiamo provato a riprodurli studiandone le leggi fisiche che ne stanno alla base.

Quando la bottiglia, il nostro razzo, è ancora fissata alla pedana, la risultante di tutte le forze è uguale a zero. All'interno del razzo c'è una quantità di acqua, che costituisce il propellente, e aria sottoposta ad una pressione di circa 2 atm. Al momento dello sgancio l'acqua viene spinta fuori di colpo dall'aria compressa e dà una spinta alla bottiglia. Questa continua fino a quando l'acqua non viene completamente espulsa. A questo punto il razzo continua il suo moto per inerzia. Come sappiamo il razzo non è fatto per sfruttare la portanza alare, infatti privato della spinta del motore non riesce a planare ma entra in caduta libera. E' proprio grazie alla spinta dei motori che riesce a superare la forza del campo gravitazionale ed alzarsi in volo. Una volta alzatosi in volo la struttura del razzo potrebbe ruotare intorno al proprio baricentro come un perno virtuale. L'aria che lambisce le superfici antecedenti il baricentro tende a rendere instabile il volo, mentre l'aria sulla parte posteriore al baricentro tende a stabilizzarlo. Ecco perché le pinne sono quasi sempre poste sulla parte inferiore del razzo. Per semplificare possiamo considerare la somma di tutte le spinte che agiscono sulle pareti del razzo come un'unica spinta che agisce su un punto chiamato centro di pressione. In altri lavori abbiamo visto che esiste una relazione tra il centro di pressione e il centro di massa, ma abbiamo deciso di affrontare questa problematica in futuro.Immaginiamo di seguire il moto del razzo durante tanti piccoli intervalli di tempo, ad esempio 0,01 secondi. All'istante del lancio, una piccola massa d'acqua espulsa dall'aria compressa a velocità acquista una quantità di moto . Una quantità di moto uguale acquisterà il razzo che da una velocità uguale a zero passerà ad una velocità staccandosi dal suolo. In questo intevallo di tempo sufficientmente breve, possiamo approssimare il moto del razzo ad un moto uniforme. Nel successivo intervallo di tempo di 0,01 secondi, la pressione interna dell'aria sarà leggermente diminuita (calcolabile tramite un'espansione isoterma), ma ancora sufficiente ad espellere una nuova quantità di acqua con velocità . Di nuovo il razzo aquisterà una quantità di moto pari a quella della nuova acqua espulsa ed incrementerà la sua velocità passando al nuovo valore . Avremo allora un altro piccolo tratto, approssimabile ancora con un moto uniforme, ma alla nuova velocità . Il fenomeno prosegue così per tutti gli intervalli di tempo successivi, con pressioni dell'aria nella bottiglia via via decrescenti, quantità di acqua che vengono espulse a velocità sempre minori fino a quando la pressione dell'aria non scende al valore di quella atmosferica. Cessa allora la fase di spinta ed il razzo prosegue con moto decelerato. Raggiunta la massima altitudine ricade, come già detto, con moto uniformemente accelerato. Per l'esattezza, dato l'attrito con l'aria della bottiglia, in caduta raggiunge rapidamente la velocità limite e scende con moto uniforme. Si può riassumere il tutto nei seguenti punti:

1. Per far muovere un razzo, occorre vincere le forze che si oppongono al moto (inerzia, resistenza dell'aria, ecc.)

2. Le forze resistenti vengono vinte dalla spinta

3. La spinta è generata per reazione all'accelerazione che l'acqua subisce quando fuoriesce dall'ugello del razzo con una certa velocità, spinta dall'aria interna a pressione maggiore di quella atmosferica

4. Perché l'aria e quindi l'acqua, fuoriescano, occorre che l'aria sia a pressione superiore di quella ambiente

Ed ora usiamo un pò di matematica

Seguiremo il moto del razzo ad intervalli costanti di . Dopo aver gonfiato la bottiglia contenente ½ litro di acqua trattiamo l'aria interna alla bottiglia, quando spinge fuori l'acqua, come un gas perfetto che subisce un'espansione isoterma cioè:

da cui

Perciò, conoscendo P e V all'istante iniziale, calcolando la massa di acqua espulsa in un intervallo di tempo t, si può risalire alla , e quindi ricavare dall'ultima formula sopra, la che verrà esercitata sull'acqua nel successivo intervallo di tempo. Nei successivi secondi ripeteremo lo stesso procedimento e così via per tutti gli altri intervalli di tempo fino a che l'acqua non sarà fuoriuscita completamente dalla bottiglia. Per calcolare la velocità con cui il nostro propellente fuoriesce dall'ugello possiamo applicare la legge di Bernoulli:

Poiché rispetto al centro di massa del sistema (razzo + acqua) la velocità dell'acqua interna e la pressione a cui è sottoposta l'acqua interna è

si ottiene:

perciò si ricava:

da cui la formula inversa ci consente di ottenere la velocità di uscita dell'acqua dall'ugello e cioè:

Tramite l'equazione della portata:

siamo in grado di ricavare la quantità d'acqua Q che esce al secondo. Se si vuole la quantità d'acqua che fuoriesce dall'ugello in un certo intervallo di tempo si deve moltiplicare la portata Q per questo intervallo di tempo ottenendo in questo modo il volume dell'acqua che esce:

Se infine si vuole conoscere la corrispondente massa di acqua uscita in questo intervallo di tempo , basta moltiplicare il volume trovato per la densità dell'acqua e cioè:

Applicando il principio di conservazione della quantità di moto, si può ricavare di quanto aumenta la velocità del razzo per ogni piccola quantità di acqua espulsa. Nel sistema di riferimento del centro di massa del razzo la velocità dell'acqua che non è ancora fuoriuscita è uguale a zero. Quando viene espulsa, questa piccola quantità d'acqua acquista una quantità di moto che per la sua conservazione dovrà essere uguale a quella acquistata dal razzo. Si ricava allora, tramite il prodotto Pressione*Sezione la forza esercitata sulla massa d'acqua espulsa. Questa forza moltiplicata per l'intervallo di tempo considerato ci fornisce l'impulso della forza. Questo impulso sarà anche quello applicato al razzo. Indicando la velocità acquistata dal razzo con , si può allora scrivere:

dalla quale si può ricavare la variazione di velocità del razzo avvenuta nell'intervallo di tempo :